Ο συσχετισμός των μεγεθών του φυσικού κόσμου με έναν φανταστικό ή καλύτερα μιγαδικό κόσμο

Σε πολλά προβλήματα και ασκήσεις της φυσικής στις οποίες θέλουμε να υπολογίσουμε κάποιο φυσικό μέγεθος, συνήθως το μέγεθος το υπολογίζουμε με την επίλυση κάποιας εξίσωσης. Σε ορισμένες περιπτώσεις η εξίσωση αυτή μπορεί να είναι μια απλή εξίσωση 2ου βαθμού ή ακόμα και δευτεροβάθμιο τριώνυμο. Ποιο σπάνια μπορεί να υπάρξει και τριτοβάθμια εξίσωση που θα πρέπει να επιλυθεί. Στις περιπτώσεις επίλυσης των δευτεροβάθμιων και τριτοβάθμιων εξισώσεων μπορεί να προκύψουν μιγαδικές ρίζες μαζί με πραγματικές. Σε τέτοια περίπτωση αυτό που θα έκανε ο καθένας μας ή μάλλον και ένας φυσικός θα ήταν να δεχτεί την πραγματική/κές ρίζες και να απορρίψει τις μιγαδικές. Μέχρι εδώ είμαστε οκ.

Οι μιγαδικοί αριθμοί εμφανίστηκαν των 16^ο – 17^ο αιώνα όταν ο Ιταλός μαθηματικός G. Cardano βρήκε τους τύπους επίλυσης για ένα τριτοβάθμιο πολυώνυμο ανηγμένης μορφής, στον τύπο επίλυσης των ριζών υπήρχαν τετραγωνικές ρίζες κάτω από κυβικές ρίζες. Ενώ λοιπόν μέχρι εκείνη την εποχή ο αρνητικός αριθμός κάτω από την ρίζα δεν θα γινόταν δεκτός, οι μαθηματικοί διαπίστωσαν πως αν έκανες τις πράξεις με τους αρνητικούς αριθμούς κάτω από τις ρίζες τότε η εξίσωση μηδενιζόταν, δηλαδή και οι πράξεις με αρνητικούς αριθμούς κάτω από τετραγωνικές ρίζες επαλήθευαν την εξίσωση και αποτελούσαν ρίζες της εξίσωσης. Έτσι λοιπόν o Cardano θεώρησε το I για το οποίο ισχύει i^2 = -1. Αν έχουμε (-4)^(1/2) = 2ι. 

Έτσι λοιπόν οι μαθηματικοί αποδέχτηκαν ότι κάτω από ρίζες μπορούμε να έχουμε αρνητικούς αριθμούς και με αφετηρία τις τριτοβάθμιες εξισώσεις εφευρέθηκε και αναπτύχθηκε ένας τεράστιος θεωρητικός τομέας των μαθηματικών, η μιγαδική ανάλυση.

Στο γνωστό δευτεροβάθμιο τριώνυμο αν Δ<0 3="3">

Επανερχόμενος στο βασικό ερώτημα της 1^ης παραγράφου λοιπόν, μήπως έχει έρθει η ώρα να αποδεχτούμε και τους φανταστικούς αριθμούς στα φυσικά μεγέθη που προκύπτουν από την επίλυση εξισώσεων 2^ου βαθμού και άνω;

Θυμάμαι κάποτε όταν κάναμε τα ΣΑΕ (συστήματα αυτομάτου ελέγχου), που με τους μετασχηματισμούς Laplace περνούσαμε από το επίπεδο των πραγματικών αριθμών στο επίπεδο s των μιγαδικών αριθμών ούτως ώστε να γίνει η ανάλυση και επεξεργασία του ηλεκτρικού κυκλώματος.

Μήπως θα πρέπει να υπάρξουν παρόμοιοι μετασχηματισμοί και στην φυσική για τα φυσικά μεγέθη; Είμαστε τόσο σίγουροι σήμερα ότι μπορούμε να απορρίπτουμε έναν μιγαδικό αριθμό για φυσικό μέγεθος είτε μονόμετρο είτε διανυσματικό;  

Παρακάτω μερικά πολύ απλά παραδείγματα με επίλυση εξισώσεων που καταλήγουν σε μιγαδικό ή φανταστικό αριθμό για ένα φυσικό μέγεθος.

1. Ένα τρένο τρέχει και ξαφνικά φρενάρει, αποκτάει μια επιβράδυνση α και επιβραδύνεται για απόσταση χ μέχρι να σταματήσει οριστικά. Να βρεθεί ο χρόνος για τον οποίον εκτελούσε επιβραδυνόμενη κίνηση.

Θα χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση x=0.5at^2 και θα λύσουμε ως προς t, t=(2x/a)^(1/2). Η επιβράδυνση κατά τους φυσικούς έμπαινε στην εξίσωση σε απόλυτη τιμή διότι η επιβράδυνση θεωρείται αρνητική επιτάχυνση. Εμείς θα προτιμήσουμε να μην το κάνουμε αυτό και να εκφράσουμε την επιβράδυνση ως –a.

t = (2x/-a)^(1/2) = i(2x/a)^(1/2), (φανταστικός αριθμός).

Κάτι παρόμοιο θα μπορούσε να γινόταν με την εξίσωση της κινητικής ενέργειας όπου η ταχύτητα του σώματος είναι υψωμένη εις το τετράγωνο.

Στην μηχανική ρευστών, η συνολική πτώση πίεσης λόγω γραμμικών και τοπικών απωλειών δίνεται από έναν τύπο που αν εκφραστεί ως προς την παροχή είναι της μορφής ΔΡ(Q)=CQ^2. Έχουμε σκεφτεί αν η αντλία αρχίσει να λειτουργεί από την ανάποδη περιστροφή πως θα μπορούσε να εκφραστεί η παροχή, δηλαδή αν θα εκφραζόταν με αρνητικό πρόσημο;

Σε περίπτωση που γινόταν αυτό μήπως θα προέκυπταν μιγαδικές παροχές και όγκοι; Μήπως τελικά εκτός από την φυσική ενέργεια στο περιβάλλον υπάρχει και η μιγαδική ή φανταστική ενέργεια;

Ίσως εξέφρασα πολύ «άτσαλα» / αδόκιμα παραδείγματα για τους προβληματισμούς μου τα οποία αν τα αντικρύσει κάποιος φυσικός να μου την πει. Όπως όμως τελικά οι μαθηματικοί πριν 300-400 χρόνια αποδέχτηκαν τους αρνητικούς αριθμούς κάτω από ρίζες και αναπτύχθηκε η μιγαδική ανάλυση, μπορεί κάποια στιγμή στο μέλλον να γίνουν αποδεκτά κάποια πράγματα στην φυσική που η βάση για την άρση της απόρριψης να είναι οι μιγαδικοί αριθμοί και σιγά σιγά να αναπτυχθεί ένας νέος τομέας της φυσικής όπως έγινε και με την μιγαδική ανάλυση στα μαθηματικά.